Question

4．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S₂=16，且a₁，a₂-4，a₃-8成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n}$（$\frac{{a}_{n}-2}{2n}$）ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由S₂=16，且a₁，a₂-4，a₃-8成等比數(shù)列．可得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+d=16}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+2d-8）=（{a}_{1}+d-4）^{2}}\end{array}\right.$，解得a₁，d，即可得出．
（II）由（I）可得：a_n，S_n．可得b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n}$（$\frac{{a}_{n}-2}{2n}$）ⁿ=（n+2）•2ⁿ．再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵S₂=16，且a₁，a₂-4，a₃-8成等比數(shù)列．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+d=16}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+2d-8）=（{a}_{1}+d-4）^{2}}\end{array}\right.$，解得a₁=6，d=4．
（II）由（I）可得：a_n=6+4（n-1）=4n+2，S_n=$\frac{n（6+4n+2）}{2}$=2n²+4n．
∴b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n}$（$\frac{{a}_{n}-2}{2n}$）ⁿ=$\frac{2{n}^{2}+4n}{2n}$$（\frac{4n+2-2}{2n}）^{n}$=（n+2）•2ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=3×2+4×2²+…+（n+2）•2ⁿ．
2T_n=3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ+（n+2）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=6+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+2）•2ⁿ⁺¹=4+$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（n+2）•2ⁿ⁺¹=2-（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹-2．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了變形推理能力與計算能力，屬于中檔題．