Question

3．二項(xiàng)式（x³+$\frac{1}{{x}^{4}}$）ⁿ的展開式中，第二、三、四項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（　�。�

• A． 21
• B． 35
• C． 56
• D． 28

Answer 1

分析 二項(xiàng)式（x³+$\frac{1}{{x}^{4}}$）ⁿ的展開式中，第二、三、四項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，可得2${∁}_{n}^{2}$=${∁}_{n}^{1}$+${∁}_{n}^{3}$，化為：n²-9n+14=0，解得n，再利用通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵二項(xiàng)式（x³+$\frac{1}{{x}^{4}}$）ⁿ的展開式中，第二、三、四項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，
∴2${∁}_{n}^{2}$=${∁}_{n}^{1}$+${∁}_{n}^{3}$，化為：n²-9n+14=0，解得n=7，或2（舍去）．
∴$（{x}^{3}+\frac{1}{{x}^{4}}）^{7}$的通項(xiàng)公式為：T_r+1=${∁}_{7}^{r}$$（{x}^{3}）^{7-r}（\frac{1}{{x}^{4}}）^{r}$=${∁}_{7}^{r}$x^21-7r，令21-7r=0，解得r=3．
∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)是${∁}_{7}^{3}$=35．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、方程的思想方法、等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．