Question

（2011•黃岡模擬）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-

3

，0)和F2(

3

，0)，且橢圓過點(diǎn)（

3

，-

1

2

）
（1）求橢圓方程；
（2）過點(diǎn)(-

6

5

，0)作直線l交該橢圓于M，N兩點(diǎn)（直線l不與x軸重合），A為橢圓的左頂點(diǎn)，試判斷∠MAN的大小是否為定值，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，求出點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離即可求得橢圓方程；
（2）分直線MN的斜率存在與補(bǔ)存在，進(jìn)行討論，利用向量的數(shù)量積為0，可得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
則2a=

( 3 + 3 )2+ 1 4

+

( 3 - 3 )2+ 1 4

=4，得a=2，b=1
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．（4分）
（2）當(dāng)直線MN⊥x軸時(shí)，直線MN的方程為x=-

6

5

，代入橢圓方程

x2

4

+y2=1得y=±

4

5

，∴M(-

6

5

，-

4

5

)，N(-

6

5

，

4

5

)
設(shè)直線MN與x軸交于點(diǎn)P，且A（-2，0）；得AP=

4

5

，PN=

4

5

∴∠NAP=

π

4

，得∠MAN=

π

2

∴若∠MAN的大小為定值，則必為

π

2

．（6分）
下面判斷當(dāng)直線MN的斜率存在且不為0時(shí)∠MAN的大小是否為定值

π

2

設(shè)直線MN的方程為：x=ky-

6

5

，
聯(lián)立直線MN和曲線C的方程可得：

x=ky- 6 5 x2 4 +y2=1

得：(k2+4)y2-

12

5

ky-

64

25

=0，（8分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y1+y2=

12k

5(k2+4)

，y1y2=-

64

25(k2+4)

（10分）
則

AM

•

AN

=(x1+2，y1)(x2+2，y2)=(k2+1)y1y2+

4

5

k(y1+y2)+

16

25

=0
∴∠MAN=

π

2

∴∠MAN的大小為定值

π

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查定值的探求，關(guān)鍵是正確理解橢圓的定義，對(duì)于定值，可從特殊入手進(jìn)行猜想，再給出一般性的證明．