Question

9．已知曲線C：f（x）=x³-x+2，求經(jīng)過點P（1，2）的曲線C的切線方程．

Answer 1

分析 設(shè)經(jīng)過點P（1，2）的直線與曲線C相切于點（x₀，y₀），求導(dǎo)f′（x）=3x²-1，從而可得在點（x₀，y₀）處的切線的方程為y-y₀=（3x₀²-1）（x-x₀）．從而得到方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={{x}_{0}}^{3}-{x}_{0}+2}\\{2-{y}_{0}=（3{x}_{0}^{2}-1）（1-{x}_{0}）}\end{array}\right.$，從而求切線方程．

解答 解：設(shè)經(jīng)過點P（1，2）的直線與曲線C相切于點（x₀，y₀），
則由f′（x）=3x²-1得：在點（x₀，y₀）處的斜率k=f′（x₀）=3x₀²-1，
則在點（x₀，y₀）處的切線的方程為y-y₀=（3x₀²-1）（x-x₀）．
又因為點（x₀，y₀）與點P（1，2）均在曲線C上，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={{x}_{0}}^{3}-{x}_{0}+2}\\{2-{y}_{0}=（3{x}_{0}^{2}-1）（1-{x}_{0}）}\end{array}\right.$，
消去y₀得x₀-x₀³=（3x₀²-1）（1-x₀），
解得x₀=1或x₀=-$\frac{1}{2}$，
于是k=2或-$\frac{1}{4}$，
所以所求切線方程為y=2x或y=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用及曲線的切線的求法，屬于中檔題．