Question

17.如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ.

(Ⅰ)求證：平面VAB⊥平面VCD；

(Ⅱ)試確定角θ的值，使得直線BC與平面VAB所成的角為.

Answer 1

本小題主要考查線面關(guān)系，直線與平面所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力和推理運算能本，以及應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力.

解法1：(Ⅰ)∵AC=BC=a,∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中點，

∴CD⊥AB，又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB，于是AB⊥平面VCD，

又AB平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD.

(Ⅱ)過C點C在平面VCD內(nèi)作CH⊥VD于H，則由(Ⅰ)知CH⊥平面VAB.

連接BH，于是∠CBH就是直線BC與平面VAB所成的角.

依題意∠CBH=，所以

在Rt△CHD中，CH=；

在Rt△BHC中，CH=asin,

∴sinθ=∵0＜θ＜∴

故當時，直線BC與平面VAB所成的角為

解法2：(Ⅰ)以CA、CB、CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直坐標系，則C(0，0，0)，A(a,0,0),B(0,a,0),D

于是，

從而⊥CD.

同理AB⊥VD.

又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD，

又AB平面VAB，

∴平面VAB⊥平面VCD.

(Ⅱ)設(shè)平面VAB的一個法向量為n=(x,y,z),

則由

得

可取n=(1,1,),又

于是sin

即sin=∵0＜θ＜∴.

故當θ=時，直線BC與平面VAB所成的角為

解法3：(Ⅰ)以點D為原點，以DC、DB所在的直線分別在x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(0，-)，B(0， )，C(-，0)，

V(-，)，于是

從而

即AB⊥DC.

同理

即AB⊥DV.

又DC∩DV=D，∴AB⊥平面VCD.

又AB平面VAB.

∴平面VAB⊥平面VCD.

(Ⅱ)設(shè)平面VAB的一個法向量為n=(x·y·z)，

則由

取n=(tanθ,0,1),又

于是sin

即sinθ=

∵0＜θ＜∴

故當時，直線BC與平面VAB所成的角為