Question

6．若向量$\overrightarrow{a}$=（x，y-1）與$\overrightarrow$=（3，-2）共線，則z=log₂（4^x+8^y）的最小值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$=（x，y-1）與$\overrightarrow$=（3，-2）共線，可知2x+3y=3，利用不等式得4^x+8^y≥${2}^{\frac{5}{2}}$，再結合函數y=log₂x的單調性可得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（x，y-1）與$\overrightarrow$=（3，-2）共線，
∴3（y-1）=-2x，即2x+3y=3，
∴4^x+8^y=2^2x+2^3y≥2$\sqrt{{2}^{2x+3y}}$=$2×{2}^{\frac{3}{2}}$=${2}^{\frac{5}{2}}$，
當且僅當2x=3y時等號成立，
所以z=log₂（4^x+8^y）≥$lo{g}_{2}{2}^{\frac{5}{2}}$=$\frac{5}{2}$，
即答案為：$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查向量平行、指數式的變形、基本不等式及對數函數的單調性，屬于中檔題．