Question

16．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F（1，0），過(guò)點(diǎn)A且斜率為1的直線交橢圓E于另一點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，$\overrightarrow{AB}=6\overrightarrow{BC}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F作直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，連接MO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）并延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)Q，求△MNQ面積的最大值及取最大值時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得B點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及基本不等式的性質(zhì)，即可求得△MNQ面積的最大值及直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題知A（-a，0），C（0，a），故$B（-\frac{a}{7}，\frac{6a}{7}）$，
代入橢圓E的方程得$\frac{1}{49}+\frac{{36{a^2}}}{{49{b^2}}}=1$，又a²-b²=1，
故a²=4，b²=3，
橢圓$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）由題知，直線l不與x軸重合，故可設(shè)l：x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得（3m²+4）y²+6my-9=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=\frac{-6m}{{3{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{-9}{{3{m^2}+4}}$，
由Q與M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱知，${S_{△MNQ}}=2{S_{△MON}}=|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$=$\frac{12}{{3\sqrt{{m^2}+1}+\frac{1}{{\sqrt{{m^2}+1}}}}}$，
∵$\sqrt{{m^2}+1}≥1$，
∴$3\sqrt{{m^2}+1}+\frac{1}{{\sqrt{{m^2}+1}}}≥4$，即S_△MNQ≤3，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)等號(hào)成立，
∴△MNQ面積的最大值為3，此時(shí)直線l的方程為x=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓方程位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．