Question

已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）記函數(shù)g（x）=x²[f′（x）+2x-2]，若g（x）的最小值是-6，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知在[1，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，能求出實數(shù)a的取值范圍．
（2）由g（x）=2x³+ax-2，x＞0，知g′（x）=6x²+a，由a≥0時，g′（x）≥0恒成立知a＜0，由此能求出函數(shù)f（x）的解析式．
解答：（本小題滿分14分）
解：（1），
∴在[1，+∞）上恒成立…（2分）
令
∵恒成立，
∴h（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減…（4分）
h（x）_max=h（1）=0…（6分）
∴a≥0，
故實數(shù)a的取值范圍為[0，+∞）．…（7分）
（2）g（x）=2x³+ax-2，x＞0
∵g′（x）=6x²+a…（9分）
當(dāng)a≥0時，g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，無最小值，不合題意，
∴a＜0．…（11分）
令g′（x）=0，則（舍負(fù)）
∵0＜x＜時，g′（x）＜0；x＞時，g′（x）＞0，
∴g（x）在 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則是函數(shù)的極小值點．．…（13分）
解得a=-6，
故．…（14分）
點評：本題考查函數(shù)是增函數(shù)時實數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)的解析式的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．