Question

已知點(diǎn)，是橢圓：上不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.

（1）求直線的方程；

（2）若線段的垂直平分線與橢圓交于點(diǎn)、，試問(wèn)四點(diǎn)、、、是否在同一個(gè)圓

上，若是，求出該圓的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解一：（1）點(diǎn)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，

∴，.

以上兩式相減得：，                             

即，，

∵線段的中點(diǎn)為，

∴.                                                           

∴，

當(dāng)，由上式知， 則重合，與已知矛盾，因此，

∴.                                                   

∴直線的方程為，即.                    

由 消去，得，解得或.

∴所求直線的方程為.                                  

解二: 當(dāng)直線的不存在時(shí), 的中點(diǎn)在軸上, 不符合題意.

     故可設(shè)直線的方程為, .           

  由 消去，得   (*)

.                                                  

的中點(diǎn)為,

.

.

解得.                                                            

此時(shí)方程(*)為,其判別式.

∴所求直線的方程為.                                     

（2）由于直線的方程為，

則線段的垂直平分線的方程為，即.        

由  得，                               

由消去得，設(shè)

則.                                           

∴線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo).

∴.                                                        

∴.

∵，

，                    

∴四點(diǎn)、、、在同一個(gè)圓上，此圓的圓心為點(diǎn)，半徑為，

其方程為.