Question

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=，前n項(xiàng)和為S_n，且2¹⁰S₃₀-(2¹⁰+1)S₂₀+S₁₀=0.

（1）求{a_n}的通項(xiàng)；

（2）求{nS_n}的前n項(xiàng)和T_n.

Answer 1

解：（1）由2¹⁰S₃₀-(2¹⁰+1)S₂₀+S₁₀=0,得2¹⁰(S₃₀-S₂₀)=S₂₀-S₁₀,

即2¹⁰(a₂₁+a₂₂+…+a₃₀)=a₁₁+a₁₂+…+a₂₀,

可得2¹⁰·q¹⁰(a₁₁+a₁₂+…+a₂₀)=S₁₁+a₁₂+…+a₂₀.

因?yàn)閍_n＞0，所以2¹⁰q¹⁰=1,解得q=,因而a_n=a₁q^n-1=,n=1,2,….

（2）因?yàn)閧a_n}是首項(xiàng)a₁=,公比q=的等比數(shù)列，故

S_n=.

則數(shù)列{nS_n}的前n項(xiàng)和T_n=(1+2+…+n)-(++…+),

=(1+2+…+n)-(++…++.

前兩式相減，得

,?

即T_n=.