Question

【題目】已知函數(shù) 有兩個不同的零點.

（1）求的取值范圍；

（2）設， 是的兩個零點，證明： .

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性，結合函數(shù)草圖可篩選出符合題意的的取值范圍；（2）構造函數(shù)設， ，可利用導數(shù)證明∴，∴，

于是，即， 在上單調(diào)遞減，可得，進而可得結果.

試題解析：（1）【解法一】

函數(shù)的定義域為： .

，

①當時，易得，則在上單調(diào)遞增，

則至多只有一個零點，不符合題意，舍去.

②當時，令得： ，則

	+	0	-
	增	極大	減

∴ .

設，∵，則在上單調(diào)遞增.

又∵，∴時， ； 時， .

因此：

（i）當時， ，則無零點，

不符合題意，舍去.

（ii）當時， ，

∵ ，∴在區(qū)間上有一個零點，

∵ ，

設， ，∵，

∴在上單調(diào)遞減，則，

∴，

∴在區(qū)間上有一個零點，那么， 恰有兩個零點.

綜上所述，當有兩個不同零點時， 的取值范圍是.

（1）【解法二】

函數(shù)的定義域為： . ，

①當時，易得，則在上單調(diào)遞增，

則至多只有一個零點，不符合題意，舍去.

②當時，令得： ，則

	+	0	-
	增	極大	減

∴ .

∴要使函數(shù)有兩個零點，則必有，即，

設，∵，則在上單調(diào)遞增，

又∵，∴；

當時：

∵ ，

∴在區(qū)間上有一個零點；

設，

∵，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴，∴，

∴ ，

則，∴在區(qū)間上有一個零點，

那么，此時恰有兩個零點.

綜上所述，當有兩個不同零點時， 的取值范圍是.

（2）【證法一】

由（1）可知，∵有兩個不同零點，∴，且當時， 是增函數(shù)；

當時， 是減函數(shù)；

不妨設： ，則： ；

設， ，

則：

.

當時， ，∴單調(diào)遞增，又∵，

∴，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∵， ， 在上單調(diào)遞減，

∴，∴.

（2）【證法二】

由（1）可知，∵有兩個不同零點，∴，且當時， 是增函數(shù)；

當時， 是減函數(shù)；

不妨設： ，則： ；

設， ，

則

.

當時， ，∴單調(diào)遞增，

又∵，∴，∴，

∵，

∴ ，

∵， ， 在上單調(diào)遞減，

∴，∴.