Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx+c在點(diǎn)x=2處取得極值c-16。
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）有極大值28，求f（x）在[-3，3]上的最小值。

Answer 1

解：（1）由題f（x）=ax³+bx+c，可得f′（x）=3ax²+b，
又函數(shù)在點(diǎn)x=2處取得極值c-16
∴，即，
化簡(jiǎn)得解得a=1，b=-12。
（2）由（1）知f（x）=x³-12x+c，f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）
令f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）=0，
解得x₁=-2，x₂=2
當(dāng)x∈（-∞，-2）時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在∈（-∞，-2）上為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（-2，2）上為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)；
由此可知f（x）在x₁=-2處取得極大值f（-2）=16+c，f（x）在x²=2處取得極小值f（2）=c-16，
由題設(shè)條件知16+c=28得，c=12
此時(shí)f（-3）=9+c=21，f（3）=-9+c=3，f（2）=-16+c=-4
因此f（x）在[-3，3]上的最小值f（2）=-4。