Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）證明：AD⊥平面PDC
（3）證明：DE⊥平面PBC．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）連結AC，設AC與BD交于O點，連結EO．由底面ABCD是正方形，可得OE∥PA，即可證明PA∥平面BDE．
（2先證DE⊥PC．由PD⊥底面ABCD，可證PD⊥AD，又由于AD⊥CD，PD∩CD=D，即可證AD⊥底面PCD．
（3）由（2）可知AD⊥DE．又由題意得AD∥BC，故BC⊥DE．于是，由BC∩PC=C，DE⊥PC，BC⊥DE可得DE⊥底面PBC．

解答： （本題滿分12分）
證明：（1）連結AC，設AC與BD交于O點，連結EO．
∵底面ABCD是正方形，∴0為AC的中點，又E為PC的中點，
∴OE∥PA，∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．…（4分）
（2）∵PD=DC，E是PC的中點，∴DE⊥PC．
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．
又由于AD⊥CD，PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，…（8分）
（3）由（2）所以有AD⊥DE．又由題意得AD∥BC，故BC⊥DE．
于是，由BC∩PC=C，DE⊥PC，BC⊥DE可得DE⊥底面PBC．…（12分）

點評：本題主要考察了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，屬于基本知識的考查．