Question

如圖，四棱錐P—ABCD中，側(cè)棱PB⊥底面ABCD，CD⊥PD.底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3.點E在棱PA上，且PE=2EA.

(1)求異面直線PA與CD所成的角；

(2)求二面角A-BE-D的大小(用反三角函數(shù)表示).

Answer 1

思路解析：本題第一問，要求異面直線所成的角，可以轉(zhuǎn)而去求與這兩條直線相關(guān)的向量的夾角，從而得到結(jié)果.而要求相關(guān)向量的夾角，可以考慮建立合適的坐標系，找到相關(guān)向量的坐標，從而得到結(jié)果；第二問，要求二面角的大小可以考慮去求這兩個平面的法向量的夾角，從而找到結(jié)果.

解：(1)建立如圖所示的直角坐標系B—xyz.設(shè)BC=a，則A(0,3,0)，P(0,0,3)，D(3,3,0)，C(a,0,0)，=(3-a,3,0)，=(3,3,-3)，

∵CD⊥PD,

∴·=0，即3(3-a)+9=0，a=6.

∵=(-3,3,0),=(0,3,-3)，cos〈,〉=,

∴異面直線PA與CD所成的角是60°.

(2)設(shè)平面BED的法向量為n₁=(x,y,1)，∵=(0,2,1)，=(3,3,0),

由,得即n₁=(,-,1).

又∵平面ABE的法向量n=(1,0,0)，∴cos〈n₁,n₂〉=

因此，二面角A-BE-D的大小為arccos