Question

設(shè)f（x）=

2ex-1，x＜2 log3(x2-1)，x≥2

，若f（x₁）=f（x₂）=a（x₁≠x₂），則實數(shù)a的取值范圍是

[1，2e）

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)x＜2時，f（x）∈（0，2e ），當(dāng)x≥2時，f（x）∈[1，+∞）．再由直線y=a和函數(shù)f（x）的圖象有2個交點，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=

2ex-1，x＜2 log3(x2-1)，x≥2

，故函數(shù)f（x）在（-∞，2）上是增函數(shù)，在[2，+∞）上也是增函數(shù)．
由于f（x₁）=f（x₂）=a（x₁≠x₂），故函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上不是增函數(shù)．
當(dāng)x＜2時，f（x）∈（0，2e ），當(dāng)x≥2時，f（x）≥f（2）=1，即f（x）∈[1，+∞）．
由題意可得直線y=a和函數(shù)f（x）的圖象有2個交點，故有 1≤a＜2e，
故答案為[1，2e）．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點和方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．