Question

19．已知ABCD為凸四邊形，AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，則ABCD面積的最大值為2$\sqrt{30}$．

Answer 1

分析 設(shè)AC=x，在△ABC和△ACD中，分別由余弦定理可得15cosD-8cosB=7，①，由面積可得8sinB+15sinD=2S，②①²+②²解三角函數(shù)的值域可得S的不等式，解不等式可得答案．

解答 解：設(shè)AC=x，在△ABC中，由余弦定理可得x²=2²+4²-2×2×4cosB=20-16cosB，
在△ACD中，由余弦定理可得x²=3²+5²-2×3×5cosD=34-30cosD，
聯(lián)立可得15cosD-8cosB=7，①
又四邊形ABCD面積S=$\frac{1}{2}$×2×4sinB+$\frac{1}{2}$×3×5sinD
=$\frac{1}{2}$（8sinB+15sinD），即8sinB+15sinD=2S，②
①²+②²可得64+225+240（sinBsinD-cosBcosD）=49+4S²，
化簡(jiǎn)可得-240cos（B+D）=4S²-240，
由于-1≤cos（B+D）≤1，∴-240≤4S²-240≤240，
∴0≤4S²≤480，解得S≤2$\sqrt{30}$，
當(dāng)cos（B+D）=-1即B+D=π時(shí)取等號(hào)，
∴S的最大值為2$\sqrt{30}$，
故答案為：2$\sqrt{30}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面積公式以及不等式的性質(zhì)，屬中檔題．