Question

5．函數f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，?x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=e+1，給出下面四個命題：
①不等式f（x）＞0恒成立；
②函數f（x）存在唯一零點x₀，且x₀∈（0，1）；
③方程f（x）=x有且僅有一個根；
④方程f（x）-f′（x）=e+1（其中e為自然對數的底數）有唯一解x₀，且x₀∈（1，2）．
其中正確命題的個數為（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 利用換元法求出函數f（x）的解析式，然后根據函數與方程的關系進行轉化，構造函數，判斷函數的零點即可得到結論．

解答 解：對于①∵f（x）是定義在（0，+∞）上單調函數，且對?x∈（0，+∞），都有f（f（x）-lnx）=e+1，
∴設f（x）-lnx=t，則f（t）=e+1，
即f（x）=lnx+t，
令x=t，則f（t）=lnt+t=e+1，
則t=e，
∴f（x）=lnx+e，
當f（x）＞0時，即lnx+e＞0，即-lnx＜e，即ln$\frac{1}{x}$＜lne^e，解得x＞$\frac{1}{{e}^{e}}$，故①錯誤；
對于②∵函數f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，
f（0）＜0，f（1）=e＞0，
∴f（0）f（1）＜0，
∴函數f（x）存在唯一零點x₀，且x₀∈（0，1）；故②正確；
對于③∵f（x）=x，
∴l(xiāng)nx+e=x，
設g（x）=lnx+e-x，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
∴g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
當x=1時，g（x）_max=g（1）=e-1＞0，
∴g（x）=lnx+e-x在（1，+∞）上有兩個零點，
∴方程f（x）=x有且兩個根；故③錯誤；
對于④∵f′（x）=$\frac{1}{x}$＞0，
則由f（x）-f′（x）=e+1得lnx+e-$\frac{1}{x}$=e+1，
即lnx-$\frac{1}{x}$-1=0，
設h（x）=lnx-$\frac{1}{x}$-1，
∵h（x）在（0，+∞）單調遞增，
則h（3）=ln3-$\frac{1}{3}$-1＜0，h（4）=ln4-$\frac{1}{4}$-1＞0，
∴函數h（x）在（3，4）上存在一個零點，即方程f（x）-f′（x）=e+1的實數解所在的區(qū)間是（3，4）；故④錯誤
故選：A．

點評 本題主要考查函數與方程的應用，根據函數單調性的性質，利用換元法求出函數的解析式是解決本題的關鍵．綜合性較強，涉及的知識點較多．