Question

求證：在同一圓的內(nèi)接矩形中，正方形的面積最大.

Answer 1

思維分析：如果知道圓的半徑R，內(nèi)接矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為x、y，矩形面積S=xy，就是要證x=y時(shí)S最大，由矩形、圓的性質(zhì)可知，矩形的對(duì)角線就是圓的直徑，把x、y的關(guān)系找出來(lái)，則y可用x表示，S是關(guān)于x的函數(shù)，則可求S的最大值.?

證明：設(shè)⊙O的半徑為R，矩形ABCD的兩鄰邊長(zhǎng)分別為x、y.?

則矩形面積S=xy（0＜x,y＜2R）.?

∵∠ABC=∠ADC=90°,?

∴A、O、C共線.∴AC=2R.?

∴x²+y²=（2R）²,?

y=（∵y＞0）.?

∴S=x.

令S′=+x·==0.

∴4R²-2x²=0.?

解得x₁=-R（舍去），x₂=R,

∴y==R=x.

又∵當(dāng)x或y接近于0時(shí)，S接近于0；當(dāng)x或y接近于2R時(shí)，S接近于0;?

∴當(dāng)x=y=R時(shí),S_max=2R².

∴矩形為正方形.

∴同一圓的內(nèi)接矩形中，正方形面積最大.

溫馨提示

在求函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，導(dǎo)數(shù)是有力的工具之一.