Question

10．已知圓E：（x+$\sqrt{2}$）²+y²=12，點F（$\sqrt{2}$，0），點P為圓E上的動點，線段PF的垂直平分線交半徑PE于點M．直線l：y=kx+m交橢圓于不同的兩點A，B，原點O到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求動點M的軌跡方程；
（Ⅱ）求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由垂直平分線的性質(zhì)可得|MP|=|MF|，根據(jù)圖象和半徑列出|ME|+|MP|=|EP|=4，由橢圓的定義判斷出動點M的軌跡Γ是橢圓，求出基本量即可求出動點M的軌跡Γ方程；
（Ⅱ）由已知距離故選得到m，k的關系．將y=kx+m代入橢圓方程，整理得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．然后根據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關系進行求解．

解答 解：（Ⅰ）由垂直平分線的性質(zhì)可得|MP|=|MF|，如圖：則|ME|+|MF|=|ME|+|MP|=|EP|=2$\sqrt{3}$＞2$\sqrt{2}$=|EF|，
∴動點M的軌跡Γ是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為2$\sqrt{3}$的橢圓．
可知a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，故b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴點M的軌跡Γ的方程為 $\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由已知直線l：y=kx+m交橢圓于不同的兩點A，B，原點O到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
可得：$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得m²=$\frac{3}{4}$（k²+1）．
將y=kx+m代入橢圓方程，整理得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．
△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）＞0（*）
∴x₁+x₂=$\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=（1+k²）[$\frac{36{k}^{2}{m}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$-$\frac{12（{m}^{2}-1）}{3{k}^{2}+1}$]
=$\frac{12（{k}^{2}+1）（3{k}^{2}+1-{m}^{2}）}{（1+3{k}^{2}）}$=$\frac{3（{k}^{2}+1）（9{k}^{2}+1）}{（3{k}^{2}+1）^{2}}$
=3+$\frac{12{k}^{2}}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}$=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}$≤3+$\frac{12}{2×3+6}$=4（k≠0）．
當且僅當$9{k}^{2}=\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$時等號成立．
經(jīng)檢驗，k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$滿足（*）式．
當k=0時，|AB|=$\sqrt{3}$．
綜上可知|AB|_max=2．∴當|AB|最大時，△AOB的面積取最大值S=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題綜合考查直線和橢圓的位置關系，難度較大，解題時要綜合運用橢圓的性質(zhì)，需要熟練地掌握公式的靈活運用．