Question

（2013•唐山二模）函數(shù)f(x)=2sinπx-

3x-x2

所有零點的和等于（　　）

A．7

B．8

C．9

D．10

Answer 1

分析：依題意，令h（x）=2sinπx，g（x）=

3x-x2

（兩函數(shù)的交點就是方程的解），逐段分析即可求得零點個數(shù)，利用h（x）=2sinπx與g（x）=

3x-x2

都關于x=

3

2

對稱即可求得所有零點的和．

解答：解：依題意，0≤x≤3，函數(shù)f（x）=2sinπx-

3x-x2

的零點，即方程2sinπx=

3x-x2

的解．
令h（x）=2sinπx，則其周期T=2；
令y=g（x）=

3x-x2

，
則y²+(x-

3

2

)2=

9

4

（y≥0），其軌跡為以（

3

2

，0）為圓心，

3

2

為半徑的上半圓；
∵h（x）=2sinπx與g（x）=

3x-x2

都關于x=

3

2

對稱，那么只要判斷解的個數(shù)就可以．

∵h（0）=g（0），兩函數(shù)都從原點出發(fā)（0，0）是一個交點；
又h（

1

2

）=2＞g（

1

2

）=

5

2

，f（

1

2

）=h（

1

2

）-g（

1

2

）＞0；
h（1）=0，g（1）=

2

，f（1）=h（1）-g（1）＜0，
∴h（x）=g（x）區(qū)間（0，

1

2

）內(nèi)有1個交點，在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)有1個交點；
同理可知，h（x）=g（x）區(qū)間（2，2

1

2

）內(nèi)有1個交點，在區(qū)間（2

1

2

，3）內(nèi)有1個交點，在x=3處有1個交點；
由h（x）=2sinπx與g（x）=

3x-x2

都關于x=

3

2

對稱得：6個交點的橫坐標相加等于3×（2×

3

2

）=9．
所有零點的和是9．
故選C

點評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查分析與運算能力，屬于難題．