Question

15．求證：cos⁸2α-sin⁸2α=cos4α（1-$\frac{1}{2}$sin²4α）

Answer 1

分析 證明過(guò)程中要降冪降角的倍數(shù)，前兩項(xiàng)先用平方差公式，把八次方降低為四次方，同時(shí)要注意約分化簡(jiǎn)，多次用的同角的三角函數(shù)關(guān)系，二倍角公式，證明的方法有多種，可采用分析法、綜合法．

解答 證明：（分析法）
要證cos⁸2α-sin⁸2α=cos4α（1-$\frac{1}{2}$sin²4α）成立，
只要證（cos⁴2α+sin⁴2α）（cos²2α-sin²2α）=cos4α-$\frac{1}{2}$sin²4α•cos4α成立，
只要證cos4α（cos⁴2α+sin⁴2α）=cos4α-$\frac{1}{2}$sin²4α•cos4α成立，
只要證cos⁴2α+sin⁴2α=1-$\frac{1}{2}$sin²4α成立，
只要證cos⁴2α+sin⁴2α=1-2sin²2αcos²2α成立，
只要證cos⁴2α+sin⁴2α+2sin²2αcos²2α=1成立，
只要證（cos²2α+sin²2α）²=1成立，
由sin²α+cos²α=1，
而此式恒成立，
所以原式得證．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了降冪公式，二倍角公式，平方差公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)公式及應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．