Question

設(shè)正四面體中,第一個球是它的內(nèi)切球,第二個球是它的外接球,求這兩個球的表面積之比及體積之比.

Answer 1

思路解析:注意到內(nèi)切球球心到各面距離相等,可以得到內(nèi)切球半徑與正四面體棱長的關(guān)系.同樣地,由外接球球心到正四面體各頂點距離相等,可以得到外接球半徑與正四面體棱長的關(guān)系,從而得到它們間的表面積比及體積比.

 

解:如圖,正四面體ABCD的中心為O,△BCD的中心為O₁,則第一個球半徑為正四面體的中心到各面的距離,第二個球的半徑為正四面體中心到頂點的距離.

設(shè)OO₁=r,OA=R,正四面體的一個面的面積為S.

依題意得V_A—BCD=S(R+r),

又V_A—BCD=4V_O—BCD=4×r·S,∴R+r=4r,即R=3r.

∴

方法歸納  正四面體與球的接切問題,可通過線面關(guān)系證出,內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的,為正四面體高的四等分點.