Question

（2011•太原模擬）定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，下面是關于f（x）的判斷：
①f（x）關于點P(

1

2

，0)對稱
②f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
③在[0，1]上是增函數(shù)；
④f（2）=f（0）．
其中正確的判斷是

①、②、④

．（把你認為正確的判斷都填上）

Answer 1

分析：由f（-x）=f（x），f（x+1）=-f（x）可得f（1+x）=-f（-x），則可求f（x）圖象關于點P(

1

2

，0)對稱；
f（x）圖象關于y軸（x=0）對稱，可得x=1也是圖象的一條對稱軸，故可判斷①②；
由f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上單增可得f（x）在[0，1]上是減函數(shù)；
由f（x+1）=-f（x）可得f（2+x）=-f（x+1）=f（x），故f（2）=f（0）．

解答：解：由f（x）為偶函數(shù)可得f（-x）=f（x），由f（x+1）=-f（x）可得f（1+x）=-f（-x），則f（x）圖象關于點P(

1

2

，0)對稱，即①正確；
f（x）圖象關于y軸（x=0）對稱，故x=1也是圖象的一條對稱軸，故②正確；
由f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上單增可得f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，即③錯；
由f（x+1）=-f（x）可得f（2+x）=-f（x+1）=f（x），∴f（2）=f（0），即④正確
故答案為：①②④

點評：本題考查函數(shù)的對稱性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)奇偶性的應用，考查學生分析問題解決問題的能力，是基礎題．