Question

11．平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=-1，點M在邊CD上，則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的最大值為（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$-1
• C． 5
• D． $\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算，求出A=120°，再建立坐標系，得到$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=x（x-2）+$\frac{3}{4}$=x²-2x+$\frac{3}{4}$=（x-1）²-$\frac{1}{4}$，設f（x）=（x-1）²-$\frac{1}{4}$，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，問題得以解決．

解答 解：∵平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=-1，點M在邊CD上，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos∠A=-1，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，∴A=120°，
以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AB的垂線為y軸，
建立如圖所示的坐標系，∴A（0，0），B（2，0），D（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設M（x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），則-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$，
∴$\overrightarrow{MA}$=（-x，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{MB}$=（2-x，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=x（x-2）+$\frac{3}{4}$=x²-2x+$\frac{3}{4}$=（x-1）²-$\frac{1}{4}$，
設f（x）=（x-1）²-$\frac{1}{4}$，則f（x）在[-$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)遞減，在[1，$\frac{3}{2}$]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=-$\frac{1}{4}$，f（x）_max=f（-$\frac{1}{2}$）=2，
則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的最大值是2，
故選：A．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積定義和向量數(shù)量積的坐標表示和函數(shù)的最值問題，關鍵是建立坐標系，屬于中檔題．