Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax有兩個零點x₁＜x₂，則下列說法正確的個數(shù)是（　�。�
①a＞e；②x₁+x₂＞2；③x₁x₂＞1；④函數(shù)f（x）有極小值點x₀，x₁+x₂＜2x₀．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 對于①：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及結(jié)合零點定理即可求出a＞e，
對于②根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)判斷即可，
對于③：f（0）=1＞0，0＜x₁＜1，x₁x₂＞1不一定，
對于④：f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）單調(diào)遞增即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，令f′（x）=e^x-a＞0，
①當(dāng)a≤0時，f′（x）=e^x-a＞0在x∈R上恒成立，
∴f（x）在R上單調(diào)遞增．
②當(dāng)a＞0時，∵f′（x）=e^x-a＞0，∴e^x-a＞0，解得x＞lna，
∴f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）單調(diào)遞增．
∵函數(shù)f（x）=e^x-ax有兩個零點x₁＜x₂，
∴f（lna）＜0，a＞0，
∴e^lna-alna＜0，
∴a＞e，①正確；
∵x₁+x₂=ln（a²x₁x₂）=2lna+ln（x₁x₂）＞2+ln（x₁x₂），
取a=$\frac{{e}^{2}}{2}$，f（2）=e²-2a=0，
∴x₂=2，f（0）=1＞0，
∴0＜x₁＜1，
∴x₁+x₂＞2，②正確；
f（0）=1＞0，
∴0＜x₁＜1，x₁x₂＞1不一定，③不正確；
f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）單調(diào)遞增，
∴有極小值點x₀=lna，且x₁+x₂＜2x₀=2lna，④正確．
故選：C．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，研究函數(shù)的零點問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．