Question

已知a＜b，若函數(shù)f（x），g（x）滿足

∫

b a

f(x)dx=

∫

b a

g(x)dx，則稱f（x），g（x）為區(qū)間[a，b]上的一組“等積分”函數(shù)，給出四組函數(shù)：
①f（x）=2|x|，g（x）=x+1；       
②f（x）=sinx，g（x）=cosx；
③f(x)=

1-x2

，g(x)=

3

4

πx2；
④函數(shù)f（x），g（x）分別是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)且積分值存在．
其中為區(qū)間[-1，1]上的“等積分”函數(shù)的組數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：微積分基本定理

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：利用“等積分”函數(shù)的定義，對(duì)給出四組函數(shù)求解，即可得出區(qū)間[-1，1]上的“等積分”函數(shù)的組數(shù)

解答： 解：對(duì)于①，

∫

1 -1

f(x)dx=

∫

1 -1

2|x|dx=

∫

0 -1

2(-x)dx+

∫

1 0

2xdx=2，而

∫

1 -1

g（x）dx=（

1

2

x2+x）

|

1 -1

=2，所以①是一組“等積分”函數(shù)；
對(duì)于②，

∫

1 -1

f(x)dx=

∫

1 -1

sinxdx=0，而

∫

1 -1

g(x)dx=

∫

1 -1

cosxdx=2sin1≠0，所以②不是一組“等積分”函數(shù)；對(duì)于③，由于函數(shù)f（x）的圖象是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的半圓，故

∫

1 -1

f(x)dx=

∫

1 -1

1-x2

dx=

π

2

，而

∫

1 -1

g（x）dx

1

4

πx3|

1 -1

=

π

2

，所以③是一組“等積分”函數(shù)；
對(duì)于④，由于函數(shù)f（x），g（x）分別是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)且積分值存在，利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱和定積分的幾何意義，可以求得函數(shù)的定積分

∫

1 -1

f(x)dx=

∫

1 -1

g(x)dx=0，所以④是一組“等積分”函數(shù)，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查“等積分”函數(shù)，考查定積分的計(jì)算，有點(diǎn)復(fù)雜．