Question

拋物線x²=-8y的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)A．過點(diǎn)A作直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，．點(diǎn)B在拋物線對(duì)稱軸上，且．則的取值范圍是

1. A.
   （3，+∞）
2. B.
   （4，+∞）
3. C.
   （5，+∞）
4. D.
   （6，+∞）

Answer 1

D
分析：由題意可設(shè)直線MN的方程為y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中點(diǎn)E（x₀，y₀），，聯(lián)立方程可得x²+8kx+16=0，由△＞0可求k的范圍，由方程的根與系數(shù)關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求MN的中點(diǎn)E，由即BE⊥MN即M在MN的垂直平分線，則MN的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)即是B，，令x=0可求B的縱坐標(biāo)，結(jié)合K的范圍可求||的范圍
解答：由題意可得A（0，2），直線MN的斜率k存在且k≠0
設(shè)直線MN的方程為y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中點(diǎn)E（x₀，y₀），
聯(lián)立方程可得x²+8kx+16=0
則可得，△=64k²-64＞0，即k²＞1，x₁+x₂=-8k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4=4-8k²
∴=-4k，=2-4k²即E（-4k，2-4k²）
∵==
又∵即BE⊥MN即M在MN的垂直平分線
則MN的垂直平分線y+4k²-2=-與y軸的交點(diǎn)即是B，
令x=0可得，y=-2-4k²
則=2+4k²＞6
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于向量知識(shí)的綜合應(yīng)用．