Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，g（x）=12x-4，若f（-1）=0，且f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=g（x）．
（1）求實(shí)數(shù)a，b，c的值；
（2）判斷函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間，并求h（x）在[-4，2]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由f（-1）=0，f（1）=g（1）=8，f′（1）=12，列出a，b，c的方程，解得即可；
（2）求出h（x）的解析式，并求導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，并求端點(diǎn)的函數(shù)值，比較即可得到最大值．

解答： 解：（1）f（-1）=0，則有-1+a-b+c=0 ①
又f′（x）=3x²+2ax+b，
又f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=g（x），
則f（1）=g（1）=8，f′（1）=12，
即a+b+c=7②，2a+b=9③
由①②③解得，a=b=3，c=1；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=x³+3x²-9x+5
h′（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1）
令h′（x）=0，得x=-3或1．

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

故h（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-3），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-3，1），
則有h（x）的極大值h（-3）=32，極小值h（2）=7，而h（-4）=25，
則h（x）在[-4，2]上的最大值為32．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．