Question

已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x²+y²－4x+1=0.求

（1）的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x²+y²的最大值和最小值.

Answer 1

（1）k_max=，k_min=－.    （2）（y－x）_min=－2－.

         （3）2－

解析:

（1）如圖，方程x²+y²－4x+1=0表示以點(diǎn)（2，0）為圓心，以為半徑的圓.

設(shè)=k，即y=kx，由圓心（2，0）到y=kx的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k²=3.所以k_max=，k_min=－.

（也可由平面幾何知識(shí)，有OC=2，OP=，∠POC=60°，直線OP的傾斜角為60°，直線OP′的傾斜角為120°解之）

（2）設(shè)y－x=b，則y=x+b，僅當(dāng)直線y=x+b與圓切于第四象限時(shí)，縱軸截距b取最小值.由點(diǎn)到直線的距離公式，得

=，即b=－2±，故（y－x）_min=－2－.

（3）x²+y²是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離之平方，故連結(jié)OC，與圓交于B點(diǎn)，并延長交圓于C′，則（x²+y²）_max=｜OC′｜=2+，（x²+y²）_min=｜OB｜=2－.