Question

已知x＞1，求證：x＞ln（1+x）.

Answer 1

證明：設f（x）=x－ln（1+x），

∵f′（x）=1－=，x＞1，

∴f′（x）＞0.∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù).

又f（1）=1－ln2＞1－lne=0，即f（1）＞0，

∴f（x）＞0，即x＞ln（1+x）（x＞1）.

點評：（1）構造函數(shù)，借助導數(shù)確定單調(diào)性，這種證明不等式的方法經(jīng)常使用，它是作差法的一個延伸.

（2）f（1）≥0是判斷大小的重要依據(jù)，它的證明是本題的一個難點.