Question

19．如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為側(cè)面BB₁C₁C與CC₁D₁D的中心．
（1）判斷A₁E與B₁F的位置關(guān)系；
（2）求A₁E與B₁F所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得到A₁E與B₁F異面．
（2）設(shè)A₁E與B₁F所成的角為θ，由$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-1，2，-1），$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（-2，-1，-1），利用向量法能求出A₁E與B₁F所成的角的余弦值．

解答 解：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長(zhǎng)為2，
則E（1，2，1），A₁（2，0，2），B₁（2，2，2），F(xiàn)（0，1，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-1，2，-1），$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（-2，-1，-1），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$與$\overrightarrow{{B}_{1}F}$不共線，又A₁E與B₁F沒(méi)有交點(diǎn)，
∴A₁E與B₁F異面．
（2）設(shè)A₁E與B₁F所成的角為θ，
∵$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-1，2，-1），$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（-2，-1，-1），
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{{B}_{1}F}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}E}|•|\overrightarrow{{B}_{1}F}|}$=$\frac{|2-2+1|}{\sqrt{4}•\sqrt{4}}$=$\frac{1}{4}$，
∴A₁E與B₁F所成的角的余弦值為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中兩條直線的位置關(guān)系的判斷，考查兩直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．