Question

5．（文科）如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F₁，F₂，在x軸上，長軸A₁A₂的長為4，x軸上一點M（${-\frac{a^2}{c}，0}$），$|{\overrightarrow{M{A_1}}}|$=$2|{\overrightarrow{{A_1}{F_1}}}|$．
（1）求橢圓的方程；
（2）過左焦點F₁且斜率為1的直線l與橢圓相交于C、D兩點，求△OCD的面積．

Answer 1

分析 （1）利用長軸A₁A₂的長為4，x軸上一點M（${-\frac{a^2}{c}，0}$），$|{\overrightarrow{M{A_1}}}|$=$2|{\overrightarrow{{A_1}{F_1}}}|$，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（2）把直線l的方程代入橢圓的方程化簡，利用根與系數的關系，求出|y₁-y₂|的值，即可求△OCD的面積．

解答 解：（1）設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），則|$\overrightarrow{M{A}_{1}}$|=$\frac{{a}^{2}}{c}$-a，|$\overrightarrow{{A}_{1}{F}_{1}}$|=a-c，
由題意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{c}-a=2（a-c）}\\{2a=4}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，∴a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由題意，直線l的方程為x-y+1=0，設C（x₁，y₁ ），D（x₂，y₂），
直線方程代入橢圓方程整理得7y²-6y-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{6}{7}$，y₁y₂=-$\frac{9}{7}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（\frac{6}{7}）^{2}+\frac{36}{7}}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}×1×\frac{12\sqrt{2}}{7}$=$\frac{6\sqrt{2}}{7}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．