Question

10．某市在對(duì)高三學(xué)生的4月理科數(shù)學(xué)調(diào)研測(cè)試的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，全市10000名學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布X～N（110，144），現(xiàn)從甲校100分以上的200份試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取了20份試卷來(lái)分析，統(tǒng)計(jì)如下：

試卷編號(hào)	n1	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10
試卷得分	109	118	112	114	126	128	127	124	126	120
試卷編號(hào)	n11	n12	n13	n14	n15	n16	n17	n18	n19	n20
試卷得分	135	138	135	137	135	139	142	144	148	150

（注：表中試卷編號(hào)n₁＜n₂＜28＜n₄＜n₅＜…＜n₂₀）

（1）列出表中試卷得分為126分的試卷編號(hào)（寫(xiě)出具體數(shù)據(jù)）；
（2）該市又從乙校中也用系統(tǒng)抽樣的方法抽取了20份試卷，將甲乙兩校這40份試卷的得分制作了莖葉圖（如圖），試通過(guò)莖葉圖比較兩校學(xué)生成績(jī)的平均分及分散程度（均不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；
（3）在第（2）問(wèn)的前提下，從甲乙兩校這40名學(xué)生中，從成績(jī)?cè)?40分以上（含140分）的學(xué)生中任意抽取3人，該3人在全市前15名的人數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和期望．
（附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ²），則P（μ-σ＜X＜μ+σ）=68.3%，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=95.4%，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=99.7%）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分層抽樣的抽取編號(hào)為等差數(shù)列可知n₅和n₉的值；
（2）根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)集中程度判斷均值和方差；
（3）根據(jù)正態(tài)分布概率可得146分以上才能進(jìn)入前15名，利用超幾何分布概率公式得出分布列，從而可求出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）126分的試卷編號(hào)分別為48，88．
（2）通過(guò)莖葉圖可知：甲校學(xué)生成績(jī)的平均分高于乙校學(xué)生成績(jī)的平均分，甲校學(xué)生成績(jī)比較集中，乙校學(xué)生成績(jī)比較分散．
（3）∵$\frac{15}{10000}=0.0015$，根據(jù)正態(tài)分布可知：P（74＜X＜146）=99.7%，
∴$P（X≥146）=\frac{1-99.7%}{2}=0.0015$，即前15名的成績(jī)?nèi)�部�?46分以上（含146分）．
根據(jù)莖葉圖可知這40人中成績(jī)?cè)?46分以上（含146分）的有3人，而成績(jī)?cè)?40分以上（含140分）的有8人．
∴ξ的取值為0，1，2，3．
$P（ξ=0）=\frac{C_5^3}{C_8^3}=\frac{5}{28}$，$P（ξ=1）=\frac{C_5^2•C_3^1}{C_8^3}=\frac{15}{28}$，$P（ξ=2）=\frac{C_5^1•C_3^2}{C_8^3}=\frac{15}{56}$，$P（ξ=3）=\frac{C_3^3}{C_8^3}=\frac{1}{56}$，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{56}$

因此$E（ξ）=0×\frac{5}{28}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{1}{56}=\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分層抽樣原理，莖葉圖，隨機(jī)變量的分布列，屬于中檔題．