Question

遞減的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．若a₃•a₅=63，a₂+a₆=16，
（1）求{a_n}的通項公式
（2）當(dāng)n為多少時，S_n取最大值，并求其最大值．
（3）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer 1

解：（1）a₂+a₆=a₃+a₅=16，又a₃•a₅=63，
所以a₃與a₅是方程x²-16x+63=0的兩根，
解得，
又該等差數(shù)列遞減，所以，
則公差d=，a₁=11，
所以a_n=11+（n-1）（-1）=12-n；
（2）由，即，解得11≤n≤12，
又n∈N^*，所以當(dāng)n=11或12時S_n取最大值，最大值為S₁₁==66；
（3）由（2）知，當(dāng)n≤12時a_n≤0，當(dāng)n＞12時a_n＞0，
①當(dāng)n≤12時，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+a₃+…+a_n）
=-S_n=-=-=-；
②當(dāng)n＞12時，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+a₃+…+a₁₂）+（a₁₃+a₁₄+…+a_n）
=S_n-2S₁₂=-2×66=-；
所以|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=．
分析：（1）a₂+a₆=a₃+a₅=16，由此可把a(bǔ)₃與a₅看作方程x²-16x+63=0的兩根，解出a₃與a₅，根據(jù)通項公式可得公差及首項；
（2）由遞減等差數(shù)列性質(zhì)可知，要使S_n取最大值，則有a_n≥0，a_n+1≤0，解出n，即可求得正整數(shù)n值；
（3）分①當(dāng)n≤12時，②當(dāng)n＞12時兩種情況進(jìn)行討論，借助等差數(shù)列前n項和公式即可求得答案；
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列通項公式、前n項和公式及數(shù)列求和，考查分類討論思想，熟練掌握等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式是解決該類問題的基礎(chǔ)．