Question

18．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為點A，與另一條漸進線交于點B，若$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$，則此雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 方法一：求得漸近線方程，聯(lián)立求得A，B坐標，根據(jù)向量數(shù)量積坐標運算，整理即可求得雙曲線的離心率；
方法二：先由$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$得出A為線段FB的中點，再借助于圖象分析出其中一條漸近線對應的傾斜角的度數(shù)，找到a，b之間的等量關系，進而求出雙曲線的離心率．

解答 解：方法一：由題意得左焦點F（-c，0），
設一漸近線OA的方程為y=-$\frac{a}$x，另一漸近線OB的方程為y=$\frac{a}$x，
由FA的方程為y=$\frac{a}$（x+c），則$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}（x+c）}\\{y=-\frac{a}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=\frac{ab}{c}}\end{array}\right.$，
則A（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}（x+c）}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}c}{^{2}-{a}^{2}}}\\{y=\frac{abc}{^{2}-{a}^{2}}}\end{array}\right.$，
則B（$\frac{{a}^{2}c}{^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{abc}{^{2}-{a}^{2}}$）
由$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$，可得2（-$\frac{{a}^{2}}{c}$+c）=$\frac{{a}^{2}c}{^{2}-{a}^{2}}$+c，
即為-$\frac{2{a}^{2}}{c}$+2c=$\frac{{a}^{2}c}{{c}^{2}-2{a}^{2}}$+c，整理得：c⁴-5a²c²+4a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，等式兩邊同除以a⁴，整理得：c⁴-5e²+4=0，
解得e²=4或e²=1，
由e＞1，
∴e=2．
故答案為：2．
方法二：如圖$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$，則A為線段FB的中點，
∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．
故∠2+∠3=90°=3∠2，∠2=30°⇒∠1=60°，$\frac{a}$=$\sqrt{3}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，則e=2．
故答案為：2．

點評 本題考查雙曲線的標準方程及簡單幾何性質，考查雙曲線的離心率公式，考查計算能力，屬于中檔題．