Question

已知點M（-2，0），N（2，0），動點P滿足條件|PM|-|PN|=2，記動點P的軌跡為W.

（1）求W的方程；

（2）若A、B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求·的最小值.

Answer 1

解：(1)由|PM|-|PN|=2知動點P的軌跡是以M、N為焦點的雙曲線的右支,實半軸長a=.

又半焦距c=2,故虛半軸長b=.

所以W的方程為=1,x≥.

(2)解：設A，B的坐標分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂).

當AB⊥x軸時,x₁=x₂,y₁=-y₂.

從而·=x₁x₂+y₁y₂=x₁²-y₁²=2.

當AB與x軸不垂直時,設直線AB的方程為y=kx+m,與W的方程聯(lián)立,消去y得(1-k²)x²-2kmx-m²-2=0.

故x₁+x₂=,x₁x₂=，

所以·=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(kx₁+m)(kx₂+m)

=(1+k²)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²=+m²==2+.

又因為x₁x₂＞0,所以k²-1＞0,從而·＞2.

綜上,當AB⊥x軸時,·取得最小值2.