Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，n∈N₊，若a_n+1=2a_n+n+1，n∈N⁺，求數(shù)列的通項a_n．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{a_n+n+2}是公比為2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列的通項a_n．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+n+1，∴a_n+1+（n+1）+2=2（a_n+n+2），
即數(shù)列{a_n+n+2}是首相為a₁+1+2=4，公比為2的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}+n+2=4•{2}^{n-1}={2}^{n+1}$，
∴${a}_{n}={2}^{n+1}-n-2$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，關(guān)鍵是構(gòu)造出等比數(shù)列{a_n+n+2}，是中檔題．