Question

已知A、B為橢圓+=1（m＞0）上兩點(diǎn)，F(xiàn)₂為橢圓的右焦點(diǎn)，若|AF₂|+|BF₂|=m
（1）求橢圓的離心率e．
（2）若AB中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線的距離為，求該橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的方程與性質(zhì)可得：，即可得到，再根據(jù)離心率與a，c的關(guān)系求出離心率．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由焦半徑公式有m-ex₁+m-ex₂=，可得AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求出橢圓的左準(zhǔn)線方程為，進(jìn)而結(jié)合求出答案．
解答：解：（1）由橢圓的方程與性質(zhì)可得：，
所以，
所以，
所以．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵，
∴由焦半徑公式有m-ex₁+m-ex₂=，
∴x₁+x₂=，即AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
又∵橢圓的左準(zhǔn)線方程為，
∴，即m=1，
∴橢圓方程為．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的方程與性質(zhì)，以及橢圓的第二定義與橢圓的焦半徑公式，此題綜合性較強(qiáng)屬于中檔題．