Question

16．已知函數(shù)y=sin（πx+φ）-2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則sin2φ$-\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 利用輔助角公式結(jié)合三角函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合二倍角公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：y=sin（πx+φ）-2cos（πx+φ）=$\sqrt{5}$sin（πx+φ-α），其中sinα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosα=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．
∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴π+φ-α=$\frac{π}{2}$+kπ，
即φ=α-$\frac{π}{2}$+kπ，
則sin2φ=sin2（α-$\frac{π}{2}$+kπ）=sin（2α-π+2kπ）=sin（2α-π）=-sin2α=-2sinαcosα
=-2×$\frac{2}{\sqrt{5}}$×$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$-\frac{4}{5}$，
故答案為：$-\frac{4}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，利用輔助角公式以及三角函數(shù)的對(duì)稱軸是解決本題的關(guān)鍵．