Question

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=2，∠BAD=∠CDA=45°，
(1)求異面直線CE與AF所成角的余弦值；
(2)證明CD⊥平面ABF；
(3)求二面角B-EF-A的正切值．

Answer 1

(1)解：因為四邊形ADEF是正方形，所以FA∥ED，
故∠CED為異面直線CE與AF所成的角，
因為FA⊥平面ABCD，
所以FA⊥CD，故ED⊥CD，
在Rt△CDE中，CD=1，，
故，
所以異面直線CE和AF所成角的余弦值為。
(2)證明：過點B作BC∥CD，交AD于點G，
則∠BGA=∠CDA=45°，
由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，
從而CD⊥AB，
又CD⊥FA，F(xiàn)A∩AB=A，所以CD⊥平面ABF。
(3)解：由上可得，即G為AD的中點，
取EF的中點N，連接GN，則GN⊥EF，
因為BC∥AD，所以BC∥EF，
過點N作NM⊥EF，交BC于M，
則∠GNM為二面角B-EF -A的平面角，
連接GM，可得AD⊥平面GNM，
故AD⊥GM，
從而BC⊥GM，
由已知，可得，
由NG∥FA，F(xiàn)A⊥GM，得NG⊥GM，
在Rt△NGM中，，
所以二面角B-EF-A的正切值為。