Question

 

如圖，平面⊥平面，四邊形與都是直角梯形，

∠∠，  ，  .

（1）求證：、、、四點共面；

（2）設(shè)，求證：平面⊥平面；

（3）設(shè)，求二面角的余弦值.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 由平面⊥平面，⊥，得⊥平面，以A為坐標原點，射線AB為x軸正半軸，建立如圖的直角坐標系A(chǔ)-xyz， ……………1分

（1）設(shè)，，，

     則，，，

       ，， …………3分

     ∴ ，，

故，

∵ ，

∴ ∥，

∴ C、D、E、F共面.      ………………5分

（2）∵ ，由（1）可知，

∴ ，，

設(shè)為平面的法向量，則

  ，      ∴ ，             ………………7分

設(shè)為平面的法向量，則，，

 ，     ∴ ，              ………………9分

∵  ，  ∴ ，

∴平面⊥平面.                           ………………10分

（3）當(dāng)時，由（2）可知平面的法向量為，

     設(shè)平面的法向量為，

     由，得

     ，       ∴ ，

     ∴ ，

     ∴ 二面角的余弦值為.               ………………16分