Question

（2012•許昌二模）在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，且b²=a²-ac+c²，C-A=90°，則cosAcosC=（　�。�

• A．

  1

  4

• B．

  2

  4

• C．-

  1

  4

• D．-

  2

  4

Answer 1

分析：根據(jù)余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，結(jié)合題中等式解出B=

π

3

，從而得到cos（A+C）=-cosB=-

1

2

，又因為C-A=90°得cos（A-C）=0，利用兩角和與差的余弦公式聯(lián)解，即可得到cosAcosC的值．

解答：解：∵在△ABC中，b²=a²-ac+c²，
∴由b²=a²+c²-2accosB，得cosB=

1

2

結(jié)合B∈（0，π）得B=

π

3

由此可得cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=-cosB=-

1

2

又∵C-A=90°，可得cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=cos（-90°）=0
∴兩式相加，得2cosAcosC=-

1

2

，解之得cosAcosC=-

1

4

故選：C

點評：本題給出三角形邊的平方關(guān)系和C-A的值，求cosAcosC之值．著重考查了兩角和與差的余弦公式、利用正余弦定理解三角形等知識，屬于基礎(chǔ)題．