Question

已知函數(shù)f(x)＝，x∈[－1，1]，函數(shù)g(x)＝f ²(x)－2af(x)＋3的最小值為h(a)．

(1)求h(a)；

(2)是否存在實(shí)數(shù)m、n，同時(shí)滿足以下條件：

①m>n>3；

②當(dāng)h(a)的定義域?yàn)閇n，m]時(shí)，值域?yàn)閇n²，m²]．

若存在，求出m、n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

 (1)因?yàn)?i>x∈[－1,1]，所以∈.

設(shè)＝t，t∈，則g(x)＝φ(t)＝t²－2at＋3＝(t－a)²＋3－a².

當(dāng)a<時(shí)，h(a)＝φ＝－；

當(dāng)≤a≤3時(shí)，h(a)＝φ(a)＝3－a²；

當(dāng)a>3時(shí)，h(a)＝φ(3)＝12－6a.

所以h(a)＝

(2)因?yàn)?i>m>n>3，a∈[n，m]，所以h(a)＝12－6a.

因?yàn)?i>h(a)的定義域?yàn)閇n，m]，值域?yàn)閇n²，m²]，且h(a)為減函數(shù)，

所以兩式相減得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，因?yàn)?i>m>n，所以m－n≠0，得m＋n＝6，但這與“m>n>3”矛盾，故滿足條件的實(shí)數(shù)m、n不存在．