Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³-2x-4，g（x）=x²+（a²-1）x+（a-2）（a∈R）．
（1）當x＞2時，求證：f（x）＞0；
（2）求證：對任意a∈R，函數(shù)g（x）必存在兩個零點；
（3）若函數(shù)g（x）兩個零點均比1小或另一零點比1小，另一個零點比1大，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)的符號可得函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調遞增，結合f（2）=0，可得當x＞2時，f（x）＞0．
（2）分類討論可得二次函數(shù)g（x）的判別式大于零恒成立，從而得到對任意a∈R，函數(shù)g（x）必存在兩個零點．
（3）由條件利用二次函數(shù)的性質，分類討論，分別求得a的范圍，再取并集，即得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³-2x-4，∴f′（x）=3x²-2，故當x＞2時，f′（x）=3x²-2＞0，
故函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調遞增．
求得f（2）=8-4-4=0，可得當x＞2時，f（x）＞0．
（2）對于二次函數(shù)g（x）=x²+（a²-1）x+（a-2）（a∈R），它的判別式△=（a²-1）²-4（a-2）=a（a³-2a-4）+9，
當a＞2時，由（1）可得 a³-2a-4＞0，∴△＞0；
當a=2時，△=9＞0；
當a＜2時，a-2＜0，△=（a²-1）²-4（a-2）＞0．
綜上可得，△＞0恒成立，故函數(shù)g（x）必存在兩個零點．
（3）若函數(shù)g（x）兩個零點均比1小，則有$\left\{\begin{array}{l}{f（1）{=a}^{2}+a-2＞0}\\{-\frac{{a}^{2}-1}{2}＜1}\end{array}\right.$，求得a＜-2 或a＞1．
若一零點比1小，另一個零點比1大，則f（1）=a²+a-2＜0，求得-＜a＜1．
綜上可得要求的a的范圍是{a|a≠-2，且a≠1}．

點評 本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，函數(shù)的零點的定義，二次函數(shù)的性質應用，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．