Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x+2）²-2ln（x+2）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=x²+3x+a在區(qū)間[-1，1]上只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），注意到函數(shù)的定義域?yàn)椋?2，+∞），在此基礎(chǔ)上討論函數(shù)f′（x）的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的表達(dá)式代入，方程f（x）=x²+3x+a變形為x-a+4-2ln（2+x）=0，然后令左邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g（x），再通過(guò)求導(dǎo)數(shù)g′（x），得到在g（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為①函數(shù)的極小值等于0；②左邊的最大值小于0，而右邊的最大值大于或等于0；③左邊的最大值大于或等于0，右邊的最大值小于0．三種情況必?fù)?jù)其一，因此分類(lèi)討論即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?2，+∞），
因?yàn)閒′（x）=2[（x+2）-

1

x+2

]=

2(x+1)(x+3)

x+2

，
所以 當(dāng)-2＜x＜-1時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞-1時(shí)，f′（x）＞0．
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞）；
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，-1）（注：-1處寫(xiě)成“閉的”亦可）
（Ⅱ）由f（x）=x²+3x+a得：x-a+4-2ln（2+x）=0，
設(shè)g（x）=x-a+4-2ln（2+x），求導(dǎo)數(shù)得g′（x）=1-

2

x+2

=

x

x+2

在區(qū)間[-1，1]上加以討論：
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g′（x）＜0，而當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，
故g（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，
要使方程f（x）=x²+3x+a在區(qū)間[-1，-1]上只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
則必須且只需g（0）=0，或

g(-1)＜0 g(1)≥0

或

g(-1)≥0 g(1)＜0

接下來(lái)分類(lèi)：
①當(dāng)g（0）=0時(shí)，解之得a=4-2ln2；
②當(dāng)

g(-1)＜0 g(1)≥0

時(shí)，

-1-a+4-2ln(2-1) ＜0 1-a+4-2ln3≥0

解之得a∈φ
③當(dāng)

g(-1)≥0 g(1)＜0

時(shí)，

-1-a+4-2ln(2-1) ≥0 1-a+4-2ln3＜0

解之得a∈（5-2ln3，3]
綜上所述，得a=4-2ln2，或a∈（5-2ln3，3]
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍（5-2ln3，3]∪{4-2ln2}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，以及函數(shù)與方程之間的聯(lián)系等知識(shí)點(diǎn)，是一道中檔題．