Question

設(shè)定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足：①對(duì)任意正實(shí)數(shù)a、b都有f(a·b)= f(a)+ f(b)-p,其中p為正常數(shù)；②f(2)=p-1;③當(dāng)x＞1時(shí)總有f(x)＜p.

(1)求f(1)及f()的值(寫成關(guān)于p的表達(dá)式)；

(2)求證：f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)；

(3)設(shè)a_n=f(2ⁿ)，n∈N，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n(關(guān)于p的表達(dá)式).

Answer 1

(1)解：取a=b=1，則f(1)=2f(1)-p,故f(1)=p.

又f(1)=f(2·)=f(2)+f()-p，且f(2)=p-1,得f()=f(1)-f(2)+p=p-(p-1)+p=p+1.

(2)證明：設(shè)0＜x₁＜x₂,

∴f(x₂)-f(x₁)=f(·x₁)-f(x₁)

=［f()+f(x₁)-p］-f(x₁)

=f()-p.

依0＜x₁＜x₂，可得＞1.

又依據(jù)當(dāng)x＞1時(shí)，總有f(x)＜p成立，可得f()＜p.

∴f(x₂)-f(x₁)＜0.故f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).

(3)解：∵a_n=f(2ⁿ),

∴a _n+1=f(2ⁿ⁺¹)=f(2·2ⁿ)=f(2)+f(2ⁿ)-p=(p-1)+a_n-p=a_n-1.

∴a _n+1-a_n=-1.

又a₁=f(2)=p-1,∴數(shù)列{a_n}是以a₁=p-1為首項(xiàng)，公差為-1的等差數(shù)列.

∴a_n=a₁+(n-1)d=(p-1)-(n-1)=-n+p.