Question

16．已知圓C：x²+y²=4．
（Ⅰ）直線l過點P（1，2），且與圓C相切，求直線l的方程；
（Ⅱ）過圓C上一動點M作平行于y軸的直線m，設m與x軸的交點為N，若向量$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，求動點Q的軌跡方程．
（Ⅲ） 若點R（1，0），在（Ⅱ）的條件下，求|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l過點P（1，2），且與圓C相切，圓心到此直線的距離=半徑，即可求直線l的方程；
（Ⅱ）設出M及Q的坐標，根據題意表示出N的坐標，利用平面向量的數量積運算法則化簡已知的等式，用x與y分別表示出x₀及y₀，將表示出的x₀及y₀代入圓C的方程，得到x與y的關系式，再根據由已知，直線m∥y軸，得到x≠0，即可得出Q的軌跡方程；
（Ⅲ）由Q及R的坐標，表示出$\overrightarrow{RQ}$，利用平面向量模的計算法則表示出|$\overrightarrow{RQ}$|²，由圓C的方程表示出y²，將y²代入表示出的|$\overrightarrow{RQ}$|²中，得到關于x的二次三項式，配方后根據二次函數的性質，可得出|$\overrightarrow{RQ}$|²的最小值，開方即可得出|$\overrightarrow{RQ}$|的最小值，以及此時x的值．

解答 解：（Ⅰ）顯然直線l不垂直于x軸，
設其方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0…（2分）
設圓心到此直線的距離為d，則d=$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
得k=0或k=-$\frac{4}{3}$              …（4分）
故所求直線方程為y=2或4x+3y-10=0．…（5分）
（Ⅱ）設點M的坐標為（x₀，y₀），Q點坐標為（x，y），
則N點坐標是（x₀，0），
∵$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，
∴（x，y）=（2x₀，y₀），即x₀=$\frac{x}{2}$，y₀=y，
又∵x₀²+y₀²=4，∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=4，（8分）
由已知，直線m∥y軸，得到x≠0，
∴Q點的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=4（x≠0）；（9分）
（Ⅲ）設Q坐標為（x，y），R（1，0），
∴$\overrightarrow{RQ}$=（x-1，y），
∴|$\overrightarrow{RQ}$|²=（x-1）²+y²，（10分）
又$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=4（x≠0），
∴|$\overrightarrow{RQ}$|²=（x-1）²+y²=（x-1）²+4-$\frac{{x}^{2}}{4}$=$\frac{3（x-\frac{4}{3}）^{2}+\frac{44}{3}}{4}$≥$\frac{11}{3}$，（12分）
∵x∈[-4，0）∪（0，4]，
∴x=$\frac{4}{3}$時，|$\overrightarrow{RQ}$|取到最小值$\frac{\sqrt{33}}{3}$．（14分）

點評 此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，直線的點斜式方程，動點的軌跡方程，平面向量的數量積運算法則，以及二次函數的性質，利用了數形結合及轉化的思想，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．