Question

4．有一個正方體木塊，其六個面均涂有油漆，現(xiàn)將這個正方體木塊切割成大小相等的27個小正方體木塊．
（1）若從這些小正方體中連續(xù)不放回地抽選4個小正方體，求至少有兩個小正方體涂有油漆的概率；
（2）若從這些小正方體中隨機(jī)抽選2個，記X為小正方體涂有油漆的面的總數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）據(jù)題意，在得到的27個小正方體中，涂有油漆的有26塊，沒有涂有油漆的有1塊，由此能求出至少有兩個小正方體涂有油漆的概率．
（2）由已知條件求出X的可能取值為1，2，3，4，5，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）據(jù)題意，在得到的27個小正方體中，
3面涂有油漆，有8塊，2面涂有油漆的有12塊，1面涂有油漆的有6塊，沒有涂有油漆的有1塊，
∴從這些小正方體中連續(xù)不放回地抽選4個小正方體，
至少有兩個小正方體涂有油漆的概率為1．
（2）∵在得到的27個小正方體中，
3面涂有油漆，有8塊，2面涂有油漆的有12塊，1面涂有油漆的有6塊，沒有涂有油漆的有1塊，
∴從這些小正方體中隨機(jī)抽選2個，記X為小正方體涂有油漆的面的總數(shù)，則X的可能取值為1，2，3，4，5，6，
P（X=1）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{6}^{1}}{{C}_{27}^{2}}$=$\frac{6}{351}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{12}^{1}+{C}_{6}^{2}}{{C}_{27}^{2}}$=$\frac{27}{351}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{8}^{1}+{C}_{6}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{27}^{2}}$=$\frac{80}{351}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{8}^{1}+{C}_{12}^{2}}{{C}_{27}^{2}}$=$\frac{114}{351}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{12}^{1}{C}_{8}^{1}}{{C}_{27}^{2}}$=$\frac{96}{351}$，
P（X=6）=$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{27}^{2}}$=$\frac{28}{351}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4	5	6
P	$\frac{6}{351}$	$\frac{27}{351}$	$\frac{80}{351}$	$\frac{114}{351}$	$\frac{96}{351}$	$\frac{28}{351}$

數(shù)學(xué)期望EX=$1×\frac{6}{351}+2×\frac{27}{351}+3×\frac{80}{351}+4×\frac{114}{351}+5×\frac{96}{351}+6$×$\frac{28}{351}$=4．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，在歷年高考中都是必考內(nèi)容之一，是中檔題．