Question

設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)²-2ln(1+x)。
（Ⅰ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當0＜a＜2時，求函數(shù)g(x)=f(x)-x²-ax-1在區(qū)間[0，3]上的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）定義域為(-1，+∞)，
，
令，則，所以，x＜-2或x＞0； 
因為定義域為(-1，+∞)，所以x＞0；
令，則，所以，
因為定義域為(-1，+∞)，所以-1＜x＜0；
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-1，0)。
（Ⅱ） （x＞-1），
，
因為0＜a＜2，所以，2-a＞0，，
令，可得，
所以函數(shù)g（x）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；
①當，即時， 在區(qū)間[0，3]上，
g（x）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，，
②當，即時，g（x）在區(qū)間(0，3)上為減函數(shù)，
所以，；
綜上所述，當時，； 當時，。