Question

求函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間，并對(duì)其中一種情況證明.

Answer 1

思路分析:要求出y=的單調(diào)區(qū)間，首先求出定義域,然后利用復(fù)合函數(shù)的判定方法判斷.

解:設(shè)u=x²-2x-3,則y=.

∵u≥0，

∴x²-2x-3≥0,即x≥3或x≤-1.

∵y=在u≥0時(shí)是增函數(shù),

又當(dāng)x≥3時(shí)，u是增函數(shù),∴當(dāng)x≥3時(shí)，y是x的增函數(shù).

又當(dāng)x≤-1時(shí)，u是減函數(shù),

∴當(dāng)x≤-1時(shí)，y是x的減函數(shù).

∴y=的單調(diào)遞增區(qū)間是[3,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1].

下面證明當(dāng)x≥3時(shí),y=是增函數(shù).

設(shè)3≤x₁＜x₂,則Δx=x₂-x₁＞0,

Δu=u(x₂)-u(x₁)

=x₂²-2x₂-3-x₁²+2x₁+3

=(x₂²-x₁²)+2(x₁-x₂)

=(x₂-x₁)(x₂+x₁-2),

∵Δx＞0,x₁≥3,x₂＞3,

∴x₁+x₂-2＞0,∴Δu＞0,∴u₂-u₁＞0,

∴Δy=y(u₂)-y(u₁)=

=

∴Δy＞0,∴當(dāng)x≥3時(shí)，y=是增函數(shù).